데이터의 중심위치와 퍼짐 정도를 측정하는 방법

1. 데이터의 중심위치 측정

데이터의 중심위치를 측정하는 척도를 대표하는 값들로 평균, 중앙값, 최빈값이 있습니다. 평균(mean)은 중심위치를 측정하는 여러가지 방법 중에서 우리가 흔히 사용되는 값으로 모든 데이터의 총 합을 표본의 크기로 나누어 구합니다. 평균은기하학적으로는 무게중심을 나타냅니다. 평균그래프를 그렸을 때 가운데를 중심으로 좌우대칭의 모양이 나타나는 경우 평균은 분포의 중심점입니다. 만일 이보다 오른쪽에 위치한 데이터가 큰 값으로 나타난다면 평균점도 오른쪽으로 이동할 것입니다.  평균은 이렇게 특이점에 대해 민감하게 반응한다는 특징이 있습니다. 또, 평균은 오로지 하나의 값으로 나타나는 유일성을 가집니다. 중앙값(median)은 데이터를 크기순으로 작은 것부터 큰 것 순서로 나열할 때 가장 가운데 오는 값을 말합니다. 데이터의 총 수가 홀수이면 가운데 데이터값을, 데이터의 수가 짝수이면 중앙에 위치하는 2개의 데이터의 평균값이 중앙값이 됩니다. 중앙값은 크기 순으로 나열한 것이기때문에 평균과 다르게 특이점의 영향을 덜 받습니다. 그렇기때문에, 유독 특이점이 많이 포함되어있는 데이터의 경우 중심위치를 나타내고자 할 때 평균대신 중앙값을 사용하는 것이 보다 적합할 것입니다. 최빈값(mode)은 데이터의 값 중 가장 빈도가 많은 관찰값을 말합니다. 앞서 살펴본 평균이나 중앙값은 양적데이터에서 자주 사용합니다. 반면에 최빈값은 범주로 구분되는 질적데이터에서 대표값을 찾고자 할 때 유용하게 사용됩니다. 추가로, 빅데이터분석기사 필기시험 등 통계관련 시험에서 평균과 중앙값 최빈값의 위치를 그래프에서 찾는 문제가 자주 출제되고 있으니 아래 그림을 참고하면 도움이 되겠습니다. 좌우대칭형인 경우 평균과 중앙값, 최빈값은 모두 같습니다. 오른쪽으로 긴 꼬리 모양을 갖는 그래프의 경우 그래프의 가장 높은 부분이 최빈값이며, 가운데에 중앙값, 그리고 그 오른쪽에 평균이 위치합니다. 

 

평균, 중앙값, 최빈값의 관계 그래프

 

2. 데이터의 퍼짐 정도 측정

데이터의 중심위치만으로는 데이터 분포의 특징을 표현할 수 없다. 두 데이터군이 중심위치가 같더라도 개별 데이터가 이루는 분포의 모양은 아주 다양하게 나타날 수 있습니다. 그러므로 데이터의 중심위치와 더불어 범위나 사분위수범위, 표준편차 등으로 데이터가 얼마나 조밀하게 혹은 넓게 위치해있는지 데이터의 퍼짐 정도를 알아본다면 보다 정확하게 데이터의 특징을 나타내었다고 할 수 있습니다. 범위(range)란 데이터의 최댓값에서 최솟값을 뺀 것으로 가장 간단하게 데이터의 퍼짐 정도를 측정할 수 있는 방법이다. 그러나 만일 양 극단의 값이 특이점이라면 범위가 지나치게 넓어져 데이터의 특성을 제대로 표현하지 못하는 단점이 있습니다. 사분위수범위(interquartile range)는 전체 데이터를 순서대로 정리하여 4등분하여 1사분위수, 2사분위수, 3사분위수, 4사분위수를 구하는데, 이 때 3사분위수에서 1사분위수를 뺀 값이 사분위수범위가 됩니다. 범위와 다르게 사분위수범위는 양극단의 값의 영향을 덜 받게 됩니다.  다섯수치요약(five-number summary)이란 제1사분위수, 2사분위수(중앙값), 3사분위수와 최대값, 최솟값을 말합니다. 중앙값은 중심위치에 대한 측도이고 나머지 네 가지는 데이터의 퍼짐 정도를 나타냅니다. 이 다섯수치요약을 바탕으로 아래와 같이 상자그림(boxplot)을 그릴 수 있습니다.  

 

상자그림

분산(variance)과 표준편차(standard deviation)는 데이터가 평균을 중심으로 얼마나 퍼져있는지를 나타내는 통계량입니다. 표준편차를 구하려면 먼저 분산을 구해야합니다. 분산은 관찰값과 평균의 차이를 제곱한 값을 합한 후 총 데이터의 개수로 나누어 구합니다. 표준편차는 분산의 양의제곱근을 구하면 됩니다. 만일 두 개 이상의 데이터의 퍼짐 정도를 비교하기 위해 두 데이터의 표준편차만을 이용하여 비교한다면 측정단위가 서로 다를 경우 비교에 의미가 없어집니다. 이 때 사용하는 것이 변이계수(coefficient of variation)로 표준편차를 평균으로 나누어 구합니다. 변이계수가 작을 수록 평균에 더 밀집하여 분포하고 있음을, 변이계수가 클 수록 편차가 크다는 것을 뜻합니다.